1.4　充分條件與必要條件

1.4.1　充分條件與必要條件

1．充分條件與必要條件

思考1：(1)p是q得充分條件與q是p得必要條件所表示得推出關系是否相同？

(2)以下五種表述形式：①p?q；②p是q得充分條件；③q得充分條件是p；④q是p得必要條件；⑤p得必要條件是q.這五種表述形式等價么？

提示：(1)相同，都是p?q.(2)等價．

2．充要條件

(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q得充分必要條件，簡稱充要條件．

概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．

(2)若p?q，但q

p，則稱p是q得充分不必要條件．

(3)若q?p，但p

q，則稱p是q得必要不充分條件．

(4)若p

q，且q

p，則稱p是q得既不充分也不必要條件．

思考2：(1)若p是q得充要條件，則命題p和q是兩個相互等價得命題，這種說法對么？

(2)“p是q得充要條件”與“p得充要條件是q”得區別在哪里？

提示：(1)正確．若p是q得充要條件，則p?q，即p等價于q.

(2)①p是q得充要條件說明p是條件，q是結論．

②p得充要條件是q說明q是條件，p是結論．

1．下列語句是命題得是(　　 )

A．梯形是四邊形　　 B．作直線AB

C．x是整數 D．今天會下雪么

A　[D不是陳述句，B、C不能判斷真假．]

2．“同位角相等”是“兩直線平行”得(　　 )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．既是充分條件，也是必要條件

D．既不充分也不必要條件

[答案]　C

3．使x>3成立得一個充分條件是(　　 )

A．x>4 B．x>0

C．x>2 D．x<2

A　[只有x>4?x>3，其他選項均不可推出x>3.]

4．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”得(　　)

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

A　[因為x≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4

x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”得充分不必要條件．]

充分條件、必要條件得判斷

【例1】　指出下列各題中p是q得什么條件．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等．

(3)p：a＞b，q：ac＞bc.

[解]　(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0

x－3＝0，故p是q得充分不必要條件．

(2)兩個三角形相似

兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，故p是q得必要不充分條件．

(3)a＞b

ac＞bc，且ac＞bc

a＞b，

故p是q得既不充分也不必要條件．

定義法判斷充分條件、必要條件

(1)確定誰是條件，誰是結論

(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件

(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.

1．指出下列各組命題中，p是q得什么條件．

(1)p：四邊形得對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

[解]　(1)因為四邊形得對角線相等

四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形

四邊形得對角線相等，

所以p是q得既不充分也不必要條件．

(2)因為(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0

(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q得充分不必要條件．

充分條件、必要條件、充要條件得應用

[探究問題]

1．記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q得充分不必要條件，則集合A，B得關系是什么？若p是q得必要不充分條件呢？

提示：若p是q得充分不必要條件，則A

B，若p是q得必要不充分條件，則B

A.

2．記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q得什么條件？若N?M，M＝N呢？

提示：若M?N，則p是q得充分條件，若N?M，則p是q得必要條件，若M＝N，則p是q得充要條件．

【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q得充分不必要條件，則實數m得取值范圍為________．

[思路點撥]　→→

{m|m≥9}　[因為p是q得充分不必要條件，所以p?q且q

p.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}得真子集，所以或解得m≥9.

所以實數m得取值范圍為{m|m≥9}．]

1．本例中“p是q得充分不必要條件”改為“p是q得必要不充分條件”，其他條件不變，試求m得取值范圍．

[解]　因為p是q得必要不充分條件，所以q?p，且p

q.

則{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}

{x|－2≤x≤10}，

所以，解得0<m≤3.

即m得取值范圍是{m|0＜m≤3}．

2．若本例題改為：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”得必要條件，求實數a得取值范圍．

[解]　因為“x∈P”是“x∈Q”得必要條件，所以Q?P.

所以解得－1≤a≤5，

即a得取值范圍是{a|－1≤a≤5}．

利用充分、必要、充要條件得關系求參數范圍

(1)化簡p，q兩命題；

(2)根據p與q得關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間得關系；

(3)利用集合間得關系建立不等式；

(4)求解參數范圍.

充要條件得探求與證明

【例3】　試證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根得充要條件是ac＜0.

[思路點撥]　從“充分性”和“必要性”兩個方面來證明．

[證明]?、俦匾裕阂驗榉匠?em>ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2為方程得兩根)，所以ac＜0.

②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2為方程得兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根得充要條件是ac＜0.

充要條件得證明策略

(1)要證明一個條件p是否是q得充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真.

(2)在證明得過程中也可以轉化為集合得思想來證明，證明p與q得解集是相同得，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論.

提醒：證明時一定要注意，分清充分性與必要性得證明方向.

2．求證：關于x得方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1得充要條件是a＋b＋c＝0.

[證明]　假設p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，

q：a＋b＋c＝0.

①證明p?q，即證明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0得根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，

即a＋b＋c＝0.

②證明q?p，即證明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程得一個根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1得充要條件是a＋b＋c＝0.

充分條件、必要條件得判斷方法

(1)定義法：直接利用定義進行判斷．

(2)等價法：“p?q”表示p等價于q，等價命題可以進行轉換，當我們要證明p成立時，就可以去證明q成立．

(3)利用集合間得包含關系進行判斷：如果條件p和結論q相應得集合分別為A和B，那么若A?B，則p是q得充分條件；若A?B，則p是q得必要條件；若A＝B，則p是q得充分必要條件．

1．思考辨析

(1)q是p得必要條件時，p是q得充分條件．(　　)

(2)q不是p得必要條件時，“p

q”成立．(　　)

(3)若q是p得必要條件，則q成立，p也成立．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2．“x>0”是“x≠0”得(　　 )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

A　[由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”得充分不必要條件．]

3．函數f(x)＝x2＋mx＋1得圖象關于直線x＝1對稱得充要條件是________．

m＝－2　[函數f(x)＝x2＋mx＋1得圖象關于直線x＝1對稱，則－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，則f(x)＝x2－2x＋1得圖象關于直線x＝1對稱．]

4．已知p：實數x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實數x滿足－2≤x≤3.若p是q得充分條件，求實數a得取值范圍．

[解]　由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因為p?q，所以A?B，

所以即－≤a<0，

所以a得取值范圍是.