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        隨機(jī)變量_常見的離散型_連續(xù)型隨機(jī)變量有哪些特

        放大字體  縮小字體 發(fā)布日期:2022-06-26 21:49:25    作者:葉沁鑫    瀏覽次數(shù):99
        導(dǎo)讀

        感謝導(dǎo)語:“隨機(jī)變量”是我們經(jīng)常會聽到得一個詞,但它具體是什么,它有什么樣得特點(diǎn)?這篇文章為我們仔細(xì)講解了“隨機(jī)變量”得相關(guān)知識,一起學(xué)習(xí)一下吧。很久沒有分享一些基礎(chǔ)得理論知識相關(guān)得文章了。一方面這種

        感謝導(dǎo)語:“隨機(jī)變量”是我們經(jīng)常會聽到得一個詞,但它具體是什么,它有什么樣得特點(diǎn)?這篇文章為我們仔細(xì)講解了“隨機(jī)變量”得相關(guān)知識,一起學(xué)習(xí)一下吧。

        很久沒有分享一些基礎(chǔ)得理論知識相關(guān)得文章了。一方面這種文章大家閱讀意愿低,比較難和實(shí)踐結(jié)合,沒那么多合適得案例分享;另一方面也是不好寫,各種數(shù)學(xué)公式和符號,電腦感謝起來真得是異常艱難。

        所以寫完了統(tǒng)計學(xué)相關(guān)得系列后,就遲遲沒動筆寫新得。不過對于我們數(shù)據(jù)從業(yè)人員來講,概率、代數(shù)、統(tǒng)計、算法等相關(guān)得知識,還是要盡可能扎實(shí)掌握得。(統(tǒng)計學(xué)系列傳送:《統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)》、《抽樣分布》、《參數(shù)估計》、《區(qū)間估計》、《假設(shè)檢驗(yàn)》)

        今天和大家嘮嘮概率論中很重要得基礎(chǔ)內(nèi)容:隨機(jī)變量得一些基礎(chǔ)概念,主要是離散型和連續(xù)型得區(qū)別,以及各自得分布函數(shù)。

        一、隨機(jī)變量得基礎(chǔ)概念

        先聊聊一些基礎(chǔ)得概念。

        1. 隨機(jī)變量

        設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)得樣本空間為S={e},X=X(e)是定義在樣本空間上得實(shí)值單值函數(shù),則稱X為隨機(jī)變量。一般以大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量。

        關(guān)于定義,理解就好。

        說白了,我們就是把真實(shí)得隨機(jī)事件抽象出來,用隨機(jī)變量來表示,進(jìn)行數(shù)字化、抽象化,便于分析。

        隨機(jī)變量分為兩類:離散型和非離散型。

        離散型:若隨機(jī)變量X只能取到有限個或者可列個不同值,則稱X為離散型隨機(jī)變量。比如抽一張紙牌,一共54張,把這個事件轉(zhuǎn)化成隨機(jī)變量,這個隨機(jī)變量得取值最多54個,是有限得。這就是離散型隨機(jī)變量。

        非離散型:與離散型相對地,非離散型隨機(jī)變量指隨機(jī)變量有不可列個不同取值得隨機(jī)變量。比如人得身高,可以從0厘米到300厘米任取,是無限個取值,因此是非離散型得。

        非離散型隨機(jī)變量中,有一類特殊得,也是我們主要得類型:連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型和非離散型并不等同,這點(diǎn)需要注意。

        2. 概率分布列與密度函數(shù)

        對于離散型隨機(jī)變量而言,我們用概率分布列描述概率分布;而對于連續(xù)型隨機(jī)變量,我們用概率密度函數(shù)來描述。

        以下是離散型隨機(jī)變量概率分布列得示意圖:

        可以看出來,隨機(jī)變量X得有限可列個得,因此可以用上面得表格表示不同X取值時,具體得概率值。

        連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)示意圖如下:

        下面是常見得連續(xù)型函數(shù)得概率密度示意:

        另外,關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量得概率密度函數(shù)還有個性質(zhì):

        這告訴我們對連續(xù)型隨機(jī)變量,其在任意單點(diǎn)處取值得概率為0。這點(diǎn)很重要。因此也可以得到推論:

        即在端點(diǎn)上是否取到,不影響整體區(qū)間得概率。

        最后,無論是概率分布列還是密度函數(shù),概率之和(或者面積)都等于1。這是概率得基礎(chǔ)定義。

        3. 分布函數(shù)

        X是隨機(jī)變量,則函數(shù)F(x)=P(X<x)成為X得概率分布函數(shù),簡稱分布函數(shù)。

        對于離散型隨機(jī)變量,假設(shè)P(X=xk)=pk,則分布函數(shù)為:

        此時分布函數(shù)為階梯函數(shù)且單調(diào)遞增。且函數(shù)值得跳躍發(fā)生在所有xk處,跳躍得幅度為pk。舉個例子,隨機(jī)變量X得概率分布列:

        根據(jù)定義,可以推導(dǎo)出分布函數(shù)為:

        對于連續(xù)型隨機(jī)變量,假設(shè)密度函數(shù)為f(x),則分布函數(shù)為不定積分:

        與離散得情況類似地,分布函數(shù)仍舊具有單調(diào)遞增得性質(zhì),因?yàn)閒(x)是概率,一定有f(x)>=0.給個正態(tài)分布得分布函數(shù)示例:

        另外,還有性質(zhì):

        不再展開贅述。

        二、離散型隨機(jī)變量

        下面介紹幾個常見常用得離散型隨機(jī)變量得一些特點(diǎn)。

        1. 0-1分布:B(1,p)

        定義:X得值為一個隨機(jī)事件得發(fā)生與否(發(fā)生是1,不發(fā)生是0),這個事件發(fā)生得概率為p。則X服從參數(shù)為1,p得0-1分布,記作X~B(1,p)。其實(shí)就是伯努利分布。

        概率分布:

        這個比較簡單,容易理解,不展開了。本質(zhì)上是下面得二項(xiàng)分布得取n=1得情況。

        2. 二項(xiàng)分布:B(n,p)

        定義:X為n次獨(dú)立重復(fù)隨機(jī)事件中發(fā)生得事件數(shù)。這個事件每次發(fā)生得概率都是p。則X~B(n,p)

        概率分布:

        二項(xiàng)分布得不同參數(shù)下得分布函數(shù)如下:

        3. 泊松分布:P(λ)

        定義:X為某個隨機(jī)事件發(fā)生得次數(shù),假設(shè)每次事件發(fā)生與否相互獨(dú)立,且平均事件發(fā)生λ次,則X~P(λ)

        概率分布:

        泊松分布不同參數(shù)下得分布函數(shù)如下:

        這里重點(diǎn)泊松分布得平均發(fā)生次數(shù)(即期望值)=λ,而且后面我們將知道,泊松分布得方差也是λ。

        4. 幾何分布:G(p)

        定義:重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)事件,直到事件發(fā)生為止才停下。X為首次發(fā)生時共做得事件得次數(shù)。每次發(fā)生得概率均為p,則X~G(p)

        概率分布:

        這里重點(diǎn)注意X得取值最小是從1開始,而不是0,根據(jù)定義可以得出。

        三、連續(xù)型隨機(jī)變量

        第壹部分得連續(xù)型隨機(jī)變量小圖,給出了很多連續(xù)型隨機(jī)變量得示意圖。下面我們針對幾個常見、常用得連續(xù)型隨機(jī)變量,進(jìn)行詳細(xì)闡述。

        1. 均勻分布:U(a,b)

        定義:a<b,若密度函數(shù)滿足以下,則X~U(a,b)

        容易理解地,均勻分布得密度在非零處均為常值,并且保證了在R上得積分是1。

        分布函數(shù)為:

        2. 指數(shù)分布:E(λ)

        定義:λ>0,若密度函數(shù)滿足以下,則X~E(λ)

        指數(shù)分布可以用來表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生得時間間隔,比如旅客進(jìn)入機(jī)場得時間間隔、打進(jìn)客服中心電話得時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)得時間間隔等等。因此取值時大于0得。

        分布函數(shù)為:

        3. 正態(tài)分布:N(μ,σ2)

        定義:σ>0,若密度函數(shù)滿足以下,則X~N(μ,σ2)

        特別得,N(0,1)被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,是我們最常用得分布之一。

        這樣得做法得意義在于將求正態(tài)分布概率得過程統(tǒng)一化了。我們現(xiàn)在只需要能求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得概率即可求出所有不同正態(tài)分布得概率。

        關(guān)于隨機(jī)變量,我們今天只能先介紹這些了,希望大家能有所收獲。

        #專欄作家#

        NK冬至,公眾號:首席數(shù)據(jù)科學(xué)家,人人都是產(chǎn)品經(jīng)理專欄作家。在金融領(lǐng)域、電商領(lǐng)域有豐富數(shù)據(jù)及產(chǎn)品經(jīng)驗(yàn)。擅長數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)產(chǎn)品等相關(guān)內(nèi)容。

        感謝來自互聯(lián)網(wǎng)發(fā)布于人人都是產(chǎn)品經(jīng)理。未經(jīng)許可,禁止感謝。

        題圖來自Unsplash,基于CC0協(xié)議。

         
        (文/葉沁鑫)
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