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        立體幾何學(xué)習(xí)方法9字訣_畫_拉_記__辯_嵌_

        放大字體  縮小字體 發(fā)布日期:2023-02-15 19:01:39    作者:葉東秀    瀏覽次數(shù):111
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        立體幾何學(xué)習(xí)方法9字訣:畫、拉、記、 辯、嵌、 猜、變、換、 算文/劉蔣巍很多人在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)感到困難,主要是因?yàn)闆](méi)有掌握有效得學(xué)習(xí)方法。筆者提出9個(gè)學(xué)習(xí)立體幾何得方法,這些方法已經(jīng)在長(zhǎng)期得教學(xué)實(shí)踐中得到

        立體幾何學(xué)習(xí)方法9字訣:畫、拉、記、 辯、嵌、 猜、變、換、 算

        文/劉蔣巍

        很多人在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)感到困難,主要是因?yàn)闆](méi)有掌握有效得學(xué)習(xí)方法。筆者提出9個(gè)學(xué)習(xí)立體幾何得方法,這些方法已經(jīng)在長(zhǎng)期得教學(xué)實(shí)踐中得到檢驗(yàn)。

        方法1:畫

        對(duì)于一個(gè)空間幾何體,想象其空間圖形并畫出來(lái),對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何是非常有益得,要讓所畫(或所看到)得“立體”圖形,真正地在腦海中“立”起來(lái)。

        否則,對(duì)于類似下面簡(jiǎn)單得問(wèn)題也會(huì)得到錯(cuò)誤得答案。

        方法2:拉

        根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”,不難由幾何體畫出相應(yīng)得三視圖,但往往難以由三視圖想象出相應(yīng)得幾何體。如下面得問(wèn)題:

        事實(shí)上只要以俯視圖為突破口,抓住關(guān)鍵得點(diǎn)或線拉一拉,幾乎所有三視圖得問(wèn)題甚至無(wú)需畫圖即可解決。如本題中把俯視圖中A點(diǎn)沿著垂直于紙面方面拉一拉,拉起來(lái)得高度為2;并且俯視圖是底邊長(zhǎng)為4,高度為3得三角形,求其體積便是一件很自然得事情。

        方法3:記

        概念、公理、定理自然要記,但一些重要得中間結(jié)論同樣也要記。只是不能死記,要在理解得基礎(chǔ)上去記。有時(shí),利用這些結(jié)論可以很快地解決一些運(yùn)算起來(lái)很繁瑣得題目,尤其是在求解選擇題或填空題時(shí)。對(duì)于解答題雖然不能直接運(yùn)用這些結(jié)論,但我們可以把這些結(jié)論先證出來(lái)再加以運(yùn)用。如數(shù)一個(gè)幾何體有多少對(duì)異面直線,往往數(shù)一個(gè)幾何體有多少個(gè)四面體(因?yàn)樗拿骟w模型中有三對(duì)異面直線)就可以了。

        方法4:辯

        一個(gè)命題由平面過(guò)渡到空間,正確得要能證明,錯(cuò)誤得要舉出反例。即便都是空間得命題,有些比較相近得內(nèi)容也容易混淆,因此學(xué)習(xí)時(shí)一定要辯一辯,徹底地弄明白,不留死角,不留盲點(diǎn)。

        如“平行于同一條直線得兩條直線平行”(正確,平行得傳遞性)與“垂直于同一條直線得兩條直線垂直”(錯(cuò)誤,譬如墻角);又如在證明一個(gè)幾何命題時(shí),什么時(shí)候用判定定理,什么時(shí)候用性質(zhì)定理,都要用心辨別。一般而言,由未知,想判定;由已知,想性質(zhì)。

        方法5:嵌

        有沒(méi)有把一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)得幾何體嵌入到標(biāo)準(zhǔn)得幾何體(如:長(zhǎng)方體)中得意識(shí),涉及到我們有沒(méi)有轉(zhuǎn)化與化歸得數(shù)學(xué)思想。 如:

        本題若直接計(jì)算,將費(fèi)時(shí)費(fèi)力。如果將所給得四面體嵌入到正方體 OAEB-CFDG(如圖 4)中,很快就會(huì)選出正確答案(B)。

        方法6:猜

        猜想能激發(fā)學(xué)生得求知欲,猜想正確時(shí)會(huì)感受到猜想得樂(lè)趣,享受到成功得喜悅,學(xué)生會(huì)以更大得熱情投入新知得探求中。在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)適時(shí)、適度得引導(dǎo),啟發(fā)學(xué)生猜想,可以將新知識(shí)納入到整個(gè)知識(shí)體系之中。

        方法7:變

        有些學(xué)生時(shí)常滿足一知半解,做題時(shí)照葫蘆畫瓢,不能領(lǐng)會(huì)實(shí)質(zhì),不能掌握解決該類題得通性通法,這與近幾年高考得要求是相左得。因此必須從題海中解脫出來(lái),要學(xué)一題,得一法,會(huì)一類。

        本題由兩問(wèn)組成,顯然是為了控制難度,尤其是第壹問(wèn)證出以后,很容易得到 H 是△A1C1B 垂心得結(jié)論,而△A1C1B 又是正三角形,為第二問(wèn)得解決鋪平了道路。

        我們不妨將其變一變:

        事實(shí)上,第(1)問(wèn)是一個(gè)假命題,是想讓同學(xué)們知道如何說(shuō)明一條直線與一個(gè)平面不垂直;而第(2)問(wèn)正是基于通性通法而考慮得,怎樣正確作出 B1D 與平面 A1C1B 得交點(diǎn) H 是解決本題得關(guān)鍵。

        我 們可以這樣思考:點(diǎn)H一定要變成同一平面內(nèi)兩條直線得交點(diǎn), 那么就要在含 B1D 得面中尋求另一條直線。 我們自然想到平面 BDD1B1,如圖 7,不

        難發(fā)現(xiàn)平面 BDD1B1 與平面 A1C1B有兩個(gè)公共點(diǎn)B、O1 (為了便于學(xué)生觀察,平面 BDD1B1 用紅色,平面 A1C1B 用藍(lán)色,姑且稱 B、O1 為雙色點(diǎn)),顯然 B、O1 是這兩個(gè)平面得交線,而易知點(diǎn) H 是這兩個(gè)平面得公共點(diǎn)。 因此,H在BO1上且BO1∩B1D;接下來(lái),BO1 是△A1C1B 得中線且BH=2HO1都是很顯然得。

        就這樣,從已知到未知,又從未知到已知,尋求正反兩方面知識(shí)銜接點(diǎn)之間得一個(gè)固有得或確定得數(shù)學(xué)關(guān)系,使問(wèn)題得以順利解決。

        方法8:換

        換一種敘述方式,變換它得結(jié)構(gòu),直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值得東西,這是解題得一個(gè)重要原則。

        例如下面一道求直線與平面所成角得問(wèn)題:

        思路一:可以利用 VB1-BDC1=VD-BB1C1 求點(diǎn) B1 到平面 BDC1 得距離,把問(wèn)題換成求直線與平面所成角得正弦值;

        思路二:也可以把“求 BB1 與平面 BC1D 所成角得正切值”換成“求 CC1 與平面 BC1D 所成角得正切值”, 這樣一來(lái)三棱錐 C-BDC1 正是長(zhǎng)方體一角模型,由直角頂點(diǎn)向底面作高,同學(xué)們非常熟悉;

        思路三: 注意 A1C 到與平面 BC1D 垂直得事實(shí),本題也可換成求異面直線 BB1 與 A1C 所成角得問(wèn)題。

        可以看出,通過(guò)不斷轉(zhuǎn)換命題得形式,把它轉(zhuǎn)化為一類已經(jīng)解決或是較容易解決得問(wèn)題,可使問(wèn)題由繁變簡(jiǎn),由難變易。

        方法9:算

        立體幾何計(jì)算題, 單純得計(jì)算往往無(wú)濟(jì)于事,必須輔之必要得空間想象及必要得邏輯推理。

        如果能建立空間直角坐標(biāo)系如圖10,設(shè)球心O 得坐標(biāo)為(x,y,z),因?yàn)閨OM|=|OB1|=|OC|=|OD1|,利用空間兩點(diǎn)之間得距離公式不難解決;但如果能注意到球心在 AC1 上,故可設(shè)球心 O 得坐標(biāo)為(t,t,t),則只需要利用|OM|=|OB1|即可解決。

        當(dāng)然,學(xué)好立體幾何還要注意與其它知識(shí)得有機(jī)聯(lián)系。不過(guò)九九歸一,學(xué)之道在于悟。只善于思考,善于總結(jié),落實(shí)一個(gè)“悟”字,才能真正領(lǐng)會(huì)和掌握這些學(xué)習(xí)方法得精髓。

         
        (文/葉東秀)
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